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            級數雙子星泰勒和麥克勞林-數學史話

            時間:2018-05-21 10:55來源:知行網www.n1979.com 編輯:麥田守望者

            布魯克·泰勒于1685年出生在英國的埃德蒙頓,1701年進入劍橋大學學習,1714年獲得法學博士學位。不過他在大學期間也學習數學,師從梅欽(就是發明梅欽公式的那個人,梅欽公式是用來計算π值的實際可用的公式)。1712年泰勒被選為英國皇家學會會員,并進入了仲裁牛頓和萊布尼茨發明微積分優先權的委員會,后來因為健康原因離職了。

            數學史話之級數雙子星泰勒和麥克勞林

            布魯克·泰勒

            泰勒最早提出了"馬步遍歷棋盤問題",即在64格的棋盤上,每格只跳一次,怎么走完整個棋盤。這個問題最終由歐拉進行了科學的處理。1714年到1719年,泰勒完成了兩部極其重要的數學著作:《正和反的增量法》和《直線透視》。而泰勒真正聞名于世的就是他在微積分學中的將函數展開成無窮級數的定理:函數在一個點的鄰域內的值可以用函數在該點的值和各階導數值組成的無窮級數表現出來:

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            泰勒級數

            然而,在半個世紀里,數學家們并沒有認識到泰勒定理的重大價值,直到拉格朗日才真正地發現了它的價值所在。拉格朗日認為這個定理是微積分的基本定理,并且給出了它的余項表達式(拉格朗日余項,就是上面那個公式里面等號前面的那三個點…),而泰勒定理的嚴格證明是由一個世紀之后的柯西來完成的。

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            拉格朗日余項

            泰勒的著作《正和反的增量法》為高等數學添加了一個新的分支,今天這個方法被稱為有限差分方法。它使任何單變量函數都可展成冪級數;同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒在書中還討論了微積分對一系列物理問題之應用,其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要。他透過求解方程導出了基本頻率公式,開創了研究弦振問題之先河。此外,此書還包括了他在數學上的其他創造性工作,如論述常微分方程的奇異解,曲率問題之研究等。

            泰勒于1731年就不幸離世了。泰勒對數學的貢獻要比一條以他命名的定理大得多,但是由于不喜歡明確和完整地把他的思路寫下來,因此他的許多證明沒有遺留下來。

            跟泰勒一樣,科林·麥克勞林也是一名英國數學家,于1698年出生在蘇格蘭。麥克勞林在大學期間一開始是攻讀神學的,不過由于對數學的愛好,后來轉攻數學。19歲時擔任阿伯丁大學的數學教授(想想咱們19歲的時候在干什么),并在21歲時當選為英國皇家學會會員。

            數學史話之級數雙子星泰勒和麥克勞林

            麥克勞林

            那年他結識了牛頓,并成為了牛頓的學生。當年他就發表了第一本重要著作《構造幾何》,在這本書中描述了作圓錐曲線的一些新的巧妙方法,精辟地討論了圓錐曲線及高次平面曲線的種種性質。1742年撰寫的《流數論》以作為基本工具,是對牛頓的流數法作出符合邏輯的、系統解釋的第一本書。他以熟練的幾何方法和窮竭法論證了流數學說,還把級數作為求積分的方法,并獨立于柯西以幾何形式給出了無窮級數收斂的積分判別法。他得到數學分析中著名的麥克勞林級數展開式,并用待定系數法給予證明(麥克勞林公式是泰勒公式(在x0=0 ,記ξ=θx(0<θ<1))的一種特殊形式)。他在代數學中的主要貢獻是在《代數論》中,創立了用行列式的方法求解多個未知數聯立線性方程組。后來由另一位數學家克萊默又重新發現了這個法則,所以現今稱之為克萊默法則。

            數學史話之級數雙子星泰勒和麥克勞林

            一些常用的麥克勞林級數展開公式

            麥克勞林終生不忘牛頓對他的栽培,并為繼承、捍衛、發展牛頓的學說而奮斗。但是跟泰勒一樣,他也在創作的盛年就去世了,只活了48歲。死后在他的墓碑上刻有"曾蒙牛頓推薦"幾個大字,以表達他對牛頓的感激之情。

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            標簽(Tag):數學史話 泰勒 麥克勞林
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